A WAVELET TRANSFORM BASED SINGULARITY DETECTION OF
TRAVELING WAVE SIGNAL CONTAINING NOISE
JIANGSheng，SHUNai-qiu，HUFang，ZHOUJing
（School of Electrical Engineering，Wuhan University，Wuhan 430072，
Hubei Province，China）
ABSTRACT: Wavelet transform is an efficient mathematical tool for singularity detection. In order to detect the singularity of the traveling wave current containing noise an efficient algorithm based on wavelet transform is needed. In this paper, a method using modulus maximum line based on the de-noising by nonlinear threshold is presented, by which the singularity of the traveling wave signal containing noise can be accurately detected. The practicality of the presented method is validated by digital simulation.
KEYWORDS: Wavelet transform；Singularity；Modulus maximum line；Traveling wave
摘 要：小波变换是检测信号奇异点的一种有效的数学工具。对于含噪声电流行波信号奇异点的检测，则需要一个基于小波变换的有效算法。作者在非线性阀值法去噪的基础上利用模极大值线的方法正确地检测出含噪声行波信号的奇异点，并通过数字仿真验证了此方法的实用性。
关键词：小波变换；奇异点；模极大值线；行波
1 引言
利用行波进行故障定位，能克服阻抗法易受对侧系统运行阻抗、负载电流、系统运行方式等因素影响的缺点，使得测距精度得以提高[1]。而准确捕捉行波波头到达时刻则是此方法的关键所在。利用小波变换检测行波信号奇异点是国内外常采用的方法。由于采集到的行波信号含有大量噪声信号，这给行波波头的准确捕捉带来了困难。
对含噪声的行波信号需要有效的小波去噪方法，通常去噪的方法有简单去高频去噪、非线性阈值法去噪及模极大值去噪。第一种方法原理简单，直接去高频即可滤掉噪声，但必然会丢失大量的有用信号，故不采用。第二种方法基本原理是噪声在每个尺度下的小波系数将小于某一定值，并有良好的统计优化特性。除去小于某一定值的小波系数，用余下的小波系数进行重构即可达到去噪效果。最后一种方法基本原理是有用信号奇异点的模极大值随尺度的增大而增大，具有正的Lipchitz指数；而噪声的模极大值随尺度的增大而减小，具有负的Lipchitz指数。它们的模极大值在小波变换下具有不同的变化趋势，所以可以利用寻找到的有用信号模极大值进行重构以达到去噪效果。
试验结果表明，单独使用第二种或第三种方法都不能有效地找着含噪声行波信号的奇异点，本文在这两种原理的基础上，将两种方法结合起来，用模极大值线的方法来准确找出行波波头的到达时刻。
2 行波信号的非线性阈值法去噪
2.1 方法的提出
基于小波变换的去噪方法是利用小波变换中的变尺度特性对确定信号具有一种“集中”的能力。如果一个信号的能量集中于小波变换域中的少数系数上，那么对这些系数的取值必然大于那些小波变换域内能量分散于大量小波系数上的信号或噪声的小波系数值。对采集到的行波信号进行分析，发现噪声成份主要是所谓的白噪声或加性噪声。将小波系数的绝对值看作是一个局部测度，每个小波系数被看成是独立变量。给定一个阈值d，所有绝对值小于阈值d 的小波系数被划为“噪声”，它们的数值用零代替；而超过阈值d 的小波系数数值用阈值d 缩减后再重新取值。Donoho等人证明了这种判断方法具有良好的统计优化特性[2]。
如何选取小波阈值是非线性阈值化去噪的关键。假定要研究的信号为f(t)，观察所获得的响应数据为
式中 f (ti)是原始信号；Z(ti)是方差为  的高斯白噪声，且符合N (0,  )分布；ti是等间隔的采样点（有N个）。Donoho等人已提出一个典型阈值选取方法，从理论上给出并证明了阈值与噪声的方差成正比[2]，即
2.2 非线性阈值法去噪的算法
由分析可得非线性阈值法去噪的算法如下：
（1）对信号用dwt进行小波塔式分解，将每 层高频系数  存入数组Wj内。
（2）根据式(2)计算小波系数阈值d。考虑到采用的是小波塔式分解，每级分解的采样点Nj不同，故阈值d 计算式如下
式中  由MAD/0.6745来估计，MAD为正规化 后小波系数  的中数。中数的定义为：对于一个N维数组，当N为奇数时，中数是第 (N＋1) /2个数的数值；当N为偶数时，中数是第N/2与第 ( N＋1) /2两数数值和的一半。
（3）利用软阈值式
对小波系数进行阈值化，得到各层新的高频系数  并存入数组 内。
（4）将每层新的高频系数和低频系数 进行小波逆变换完成信号重构，从而达到去噪的效果。
应该注意的是，此算法的前提是变换域中的小波系数是相互独立的，按照一种局部分类准则¾¾最小均方差来将小波系数分成两类，即噪声信号（小波系数）和有用信号（小波系数）[3]。并且对于有限长度N的信号，由式(2)求出的d 值仅为阈值优化的上界，而阈值优化是随信号长度变化的。当信号为无限长时，才能符合式(2)的阈值优化条件。因此信号足够长时，去噪效果才明显。
3 利用模极大值线捕获行波波头
3.1 模极大值的定义
为小波系数的模极大值点。
由于在实际计算中均采用将x进行离散化后的小波变换。故模极大值又可作如下定义：
定义2 如果满足条件
且以上两式中不能同时取等号，则称点  为小波系数的模极大值点。
尺度空间(j,xn)中所有模极大值点的连线称为模极大值线。小波变换模极大值点(j0,x0)在点x0的右邻域和左邻域都是严格局部最大的。如果小波变换在精细的尺度上没有模极大值，那么函数在该处任何领域中都无奇异性[4]。
3.2 噪声在小波变换下的特性
以下讨论白噪声的模极大值的传播特性。假设Z(x)是实数的、方差为  的宽平稳噪声， 是它的二进小波变换系数，设小波函数  也是实函数，则  将也是一个随机过程，其方差为
一个给定的尺度  上，小波变换系数  和高斯白噪声Z(x)一样都是一个高斯过程，而对一个可导的高斯过程，其过零点的平均密度为[4]  此处R(t)为自
相关函数，R(n)(t)是R(t)的n阶导数。因此，极值的平均稠密度为  ，由高斯过
程  的自相关函数定义
由此可见，高斯白噪声模极大值的平均稠密度反比于尺度  ，即尺度越大，其平均稠密度越稀疏，式(7)成为区分信号和噪声在不同尺度上小波模极大值传播行为的重要特征之一。
同样用Lipchitz指数也能说明白噪声的模极大值是随尺度的增加而减小的。我们知道白噪声具 有负的 。如果  在区间(a, b)上具有一致的Lipchitz指数  ，则必存在一个常数A>0使得  的小波变换对于任意  满足下式
 由上式可知，当  >0，小波变换的模极大值随尺度j的增加而增大；当  <0，小波变换的模极大值随尺度j的增加而减小。
3.3 寻找模极大值线的算法
实际上，非线性阈值法只满足一定的统计优化特性而不能理想地去噪。在有些情况下，还残留一些能量较大的噪声或干扰脉冲（其模极大值大于所设定的阈值），这给后面通过小波变换寻找奇异点带来了困难。因此，对于已去噪的信号还需要有效的方法才能找到有用信号的奇异点。利用前面所述的理论基础，本文将采用模极大值线的方法在多尺度下对已去噪信号寻找所需的奇异点。
既然信号和噪声在不同尺度下小波变换的模极大值的传播行为截然相反，那么在高尺度（低频带）下就很容易找到有用信号的奇异点（这时噪声的能量特别小）。但此时奇异点所对应的时刻的分辨率比较低，不能满足系统精确定位的要求。这是因为由不确定原则表明，任何信号在时域和频域里的性质是相互制约的，不可能同时出现时域和频域的高分辨率，即频域的高分辨率（高尺度）必然对应着时域的低分辨率。因此必须从时域低分辨率的奇异点向上寻找时域高分辨率的奇异点的传播点，从而满足精确时刻要求。这就是本文采用模极大值线方法的基本思想。
从理论上来讲,须对信号进行连续小波变换，在一个稠密的尺度序列上计算寻找模极大值线。而实际上，笔者采用的却是二进制小波变换,因此用简单的即兴（adhoc）算法准则来搜索模极大值线[5]，故作以下定义：
定义3 如果尺度  上的模极大值和尺度  上的另一个模极大值属于同一条模极大值线，那么  上的模极大值就是  上的传播点。即兴算法只说明了对于尺度  上的一个模极大值点a，若它与尺度  上的一个模极大值点b有相同的符号，位置比较靠近且有较大幅值，那么就说b点为a点的传播点。
本文在即兴算法的基础上给出搜索模极大值线的具体算法如下：
（1）对采集到的信号  进行离散二进小波 变换，得各级小波系数并存贮到数组  里。 这里所选的尺度不宜过大，否则会丢失有用信号的局部奇异性。模拟中，取  或6。
（2）由定义2求出每级尺度的小波变换系数所对应的模极大值点，保留属于模极大值的点， 不属于模拟极大值的点置零，并存贮在数组  中。
（3）在最高尺度j上，找出最大的模极大值点x0，并向上搜索其对应的模极大值线，即寻找x0对应的传播点，具体算法如下
1）设x0前后的极值点为x1和x2，x1在上一个 尺度所对应的传播点为  ，则将在区间( , x2)之 间搜索与x0对应的传播点。
3）设 是x0的传播点，若   ，则将 和x0作为噪声的极值点去掉，并返回步骤（3），重新在尺度j上寻找第二大模极值点x01。若  与  的比值不在(  ,  )范围内（其中  和  为经验系数），则  作为干扰点去掉，返回步骤2），再次 寻找出与x0距离最近点，并再次进行判断。
（4）按照上述算法求出其它尺度上的传播点 并最终找出所需的模极大线。
最后在最小尺度上，用寻找到的与模极大值点x  相对应的时刻t0作为与想要的信号奇异点相对应的时刻，即故障时刻tf。
4 实例分析
应用本文前面所述的综合方法，在实际仿真中，取得了很好的预期效果。
实际仿真中，电流行波信号采用的是从RTDS实时数字仿真系统中实际采集到的电压过峰值时单相短路的故障相电流信号。采集卡的采样频率为5MHz，采样时间为1600ms，采集到的单相接地短路故障信号如图1所示。去噪选用的小波为具有线性相移，紧支撑的三次B-样条小波，小波分解级数为6级，去噪效果如图2所示，而去噪后信号的小波变换如图3所示。
经大量比较试验，发现选择具有二阶消失矩的Mexh小波对去噪后信号进行模极大值计算能取得更好的结果。模极大值如图4所示，由图4中可以清晰地看出，在高频单尺度（尺度1，尺度2或尺度3）下，根本无法找出所需的奇异点；而在低频（尺度6）下很容易就发现了 ⑥ 点这个奇异点，通过前面所述模极大值线算法，依次在各尺度上找到相应的传播点即 ⑤ 、 ④ 、 ③ 、 ② 和 ① 。最后由 ① 点（尺度1）算出故障时刻tf。
5 结论
本文提出了在非线性阈值法去噪的基础上利用模极大值线的方法来检测含噪声行波信号的奇异点。实例分析表明，用本文方法能有效地找到含噪声信号的奇异点，能满足行波故障定位的要求，比传统的单尺度寻找的奇异点方法要合理和准确。但是仍需认识到文中所用的  和  两个经验系数在实际选取中还有待作进一步研究，不同的短路时刻和不同的短路类型的经验系数可能随选用不同的小波而不同。
参考文献
[1] 肖东辉，刘沛，程时杰（Xiao Donghui，Liu Pei，Cheng Shijie）架空输电线路故障测距方法综述（Survey of fault location problem on overhead transmission lines）[J]．电力系统自动化（Automation of Electric Power Systems），1993，17(8)：46-56．
[2] Donoho D L．De-noising by soft thresholding[J]．IEEE Trans on IT，1995，41(3)：613-627．
[3] 陈武凡（Chen Wufan）．小波分析及其在图像处理中的应用[M]．北京：科学出版社，2002．
[4] Mallat S，Hwang W L．Singularity detection and processing with wavelets[J]．IEEE Trans on IT，1992，38(2)：617-643．
[5] 陈逢时（Chen Fengshi）．子波变换理论及其在信号处理中的应用[M]．北京：国防工业出版社，2001．
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