摘 要： 陈述了基于FFT校正相控阵天线的角度选择关系θk=sin-1{λ［2k-(N+1) ］/(2Nd)}。并从天线理论和数学的角度对该关系进行了论证。结果表明，采用此关系选择角度有助于提高检测校正精度。
关键词：相控阵， 校正， 角度选择
Angle Selection Based on FFT Calibration for Phased Array Antenna
Zou Yongqing, Cao Jun, Li Guangzhong
（East China Research Institute of Electronic Engineering, Hefei 230031）
Abstract: In this paper, the relationship θk=sin-1{λ［2k-(N+1)］/(2Nd)},the angle selection for phasedarray calibration based on FFT method is presented, and then proved from antenna pattern and math view. What using this relation can make some precise for phasedarray calibration is the conclusion.
Key words: Phasedarray, Calibration, Angle selection
1 引言
相控阵天线由于器件的不一致性、制造公差、装配误差、环境的变化等多种原因，往往会出现较大的口径幅度和相位误差，使得天线增益降低、副瓣升高，所以相控阵天线需要进行检测和校正。通过检测可以发现口径分布的误差，使天线口径幅度、相位分布符合设计要求，实现天线低副瓣。
相控阵天线口径幅相分布检测校正方法很多，如BIT检测校正法［1］，天线远场校正法［1，9］、近场法［2］、阵外校正法［3］等。BIT阵内校正方法最适于安装在载体上的相控阵天线系统，这种方法可以实现在线检测和校正，能随时校正环境因素对有源相控阵天线口径幅度、相位分布带来的影响，保持天线波瓣特性。BIT校正方法已形成BIT行波检测校正［1］、BIT矩阵开关检测校正、互耦检测校正［5］等多种方法。在检测校正算法上也有长足发展，如FFT算法、矩阵求逆法、超定方程最小二乘法［9］等。 2 基本理论
天线远场波瓣检测校正方法是从外部发射一平面波照射到待测天线口径上，通过检测天线远场波瓣某些角度（θk）幅度、相位，经FFT等反演算法获得天线口径幅度、相位值，并通过波束控制系统对分布误差加以校正。例如，由N个单元组成的一维有源相控阵天线，单元间距d，第n个单元电流矢量（复数）In，那么角度θk处远场电场矢量（复数）E(θk)就可以通过傅立叶变换得到：
其中：f(θ，φ)为单元方向图。
阵内BIT行波校正法将一个校正网络安装在天线阵面的背后，射频信号从网络输入端注入网络中形成行波，弱耦合器将行波信号耦合到待检的馈电系统之中。如果校正网络中射频信号的导波长为λg，耦合到第n个单元电流矢量为In，那么与远场同理，θk角度的合成电场矢量E(θk)为
其中：C′n为第n个单元与校正网络之间耦合度（复数），λ0、λg分别为自由空间波长和校正网络内的导波长。
（1）、（2）两式不同之处仅在于单元因子f(θ，φ)与单元耦合度C′n、单元的电流In与I′n对应内容的不同，故可将两式写成下面统一的数学表达形式： 
其矩阵表达式为：
简记为：
从（4）式或（5）式可以看出，基于FFT校正方法校正相控阵天线时，反演的数学问题二者是完全一致的。即只要知道N个角度位置θk的幅相波瓣EN×1，就可以通过（4）式反演求出aN×1。两者的差异只是处理的不同：①若采用远场幅相波瓣校正时，需要除去单元方向图的影响，由aN×1求得口径电流分布In；②若采用BIT行波校正方法，则需要除去耦合度的影响数值，先由aN×1求出各单元I′n后，再考虑行波相位的延迟，由（3）式求得相应口径电流分布In。
3 校正反演的数学要求
3.1问题的提出
从数学上讲，基于FFT方法检测校正相控阵的过程就是选取校正角度θk，并由此构造N元线性方程（4）、求解N元线性方程（4）的过程。当（4）式的变换矩阵eN×N满秩时，各方程线性无关，可直接通过
事实上，对矩阵方程（4）进行反演时，并不是选取任意N个角度位置θk所构成方程组都可以反演获得天线口径分布。无论采用等θ步进，还是等sinθ步进等选取校正角度，如不遵守下列数学要求，都无法获得高精度的校正结果，甚至会发生错误的校正。天线单元越多，这一点愈显著。
3.2校正反演的数学要求
基于FFT校正相控阵天线时，变换矩阵eN×N必须满秩，但仅有变换矩阵eN×N满秩的条件是不够的。由于合成电场矢量E(θ)存在着一定扰动δE（如采样误差、噪声等），势必在进行方程求解时引入到分布之中，形成误差δa。δa的大小取决于矩阵 eN×N的条件数［7，8］。即：
如果矩阵eN×N的条件数很大，则矩阵是“病态”的，这时很小的误差δE将会引起很大误差δa，变换矩阵对误差起着放大作用；反之，如果矩阵eN×N的条件数小，则矩阵是“良态”的；如果变换矩阵为酉矩阵或其条件数为1，这时可获得δa/a与δE/E同等精度。所以采用FFT进行相控阵校正时，还必须选择恰当的θk构造线性内积空间的基，以保证该基下的变换矩阵满秩、良态、并同时使δE/E在θk处达到最小之三项要求。
4 校正角度的选择
4.1波瓣分析与角度选择
综合线性方程（2）和（4）可以发现，当天线的电参数λ0、λg，结构参数d、N确定以后，通过选取恰当的校正扫描角度θk，是同时满足信噪比最大（δE/E最小）、变换矩阵eN×N满秩、eN×N呈良态的主要途径。有鉴于此，可以首先从天线的波瓣结构分析入手，通过选择恰当的校正角度θk达到δE/E最小。众所周知，对于均匀口径分布的天线来说，（1）式所描述的天线波瓣可以表述为辛格函数的形式［6］：
其中：X=（2πdsinθ）/λ0。如果让（8）式中幅度E(θ)=0，则可以得到波瓣的零点位置为：
对（8）式幅度求一阶导数E′，并设E′(θ)=0，则可以得到波瓣的副瓣位置为：
式中L=1，2，3，……，N 。
综合（8）、（9）、（10）的波瓣结构特征，从提高检测校正信噪比（即降低检测校正误差源δE/E）的角度出发，校正角度θk应选择在波瓣的副瓣位置（θk=θL）。因为：
（a）除主瓣外，选取副瓣时信号最强，可以获得最大的信噪比（最小δE/E）；
（b）副瓣位置E′(θ)=0，该位置及其邻域上的信号E随θk变化缓慢。当θk存在较小的扰动δθk时不会引起大的信号误差δE；
（c）波瓣零点位置信噪比最小；
（d）其它角度位置上波瓣E(θ)随角度θ变化梯度大（单元数越多梯度越大），容易因为角度的扰动引入很大的信号误差δE。
故从提高信噪比E/δE的角度出发
4.2变换矩阵分析
4.2.1变换矩阵的秩
上面从波瓣结构出发，根据降低源误差的准则得到了校正角度选择关系（11）式。但由此形成的变换矩阵eN×N能够满秩吗？所选择角度能够使变换矩阵eN×N呈现良态吗？
为回答上面两个个问题，将（11）式表示的校正角度代入（2）式，化简可得E(θk)变换关系为：
(13)式表明，如果选择（11）式所描述的θK作为相控阵检测校正角，所构成的N维内积空间的基为exp(jmx)形式。如果定义内积为一个周期内的积分：
4.2.2矩阵的条件数
变换矩阵的满秩表明，可以通过（6）式进行傅立叶反演求出天线口径分布。但反演的精度还取决于变换矩阵的“良态”与否。为此，我们需要对其变换矩阵特征值进行讨论。根据矩阵特征根求解关系：
其中：I为单位矩阵，λ为矩阵的特征根，A(N)为特征根的模，它是变换矩阵阶数N的函数
m1+m2+m3+m4=N
（16）式说明变换矩阵具有以下特点： A. 无论天线的单元数N为多少，变换矩阵的特征值仅取4个值，为多重根。变换矩阵可化简为由4个约当块组成的约当矩阵； B. 特征根的模相等，并全部落在极坐标的极轴上； C. 变换矩阵的条件数
，矩阵呈良态，进行反演变换时传递误差最小。下图1～3是N=32单元天线变换矩阵特征根的计算结果。
5 应用与结论
根据上文，采用BIT行波校正方法对32单元一维有源相控阵进行校正，校正时和矩阵开关相比，大大地降低了对各通道端口隔离度的要求。在采用BIT行波网络校正时，首先进行了两个方面的工作：①测试各单元耦合度的幅度、相位值；②测试校正网络内的导波长λg。将这两组数据作为基本数据对反演的结果进行补偿，就可以实现对天线口径的幅相分布检测，进而通过波束控制系统实现校正。试验表明，采用上述校正角度的选择，如图4所示，32单元一维相控阵天线副瓣优于-32.5dB。
总之，采用FFT对相控阵天线进行校正时，校正角度的选择必须遵循三条原则：（1）保证变换矩阵满秩，各方程线性无关；（2）能够获得最大的信噪比；（3）使变换矩阵条件数最小，减小校正时误差传递。
基于FFT校正相控阵天线的角度选择关系θk=sin-1{λ［2k-(N+1)］/(2Nd)}符合上述三项原则的要求，能够获得良好的校正精度。
参考文献
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