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摘 要 本文在递推傅氏算法基础上，提出了一种能够完全滤除衰减直流分量的新算法。新算法对递推初始的数据窗位置没有特定要求，可以任意采样点为初始位置，取N＋2个采样点求出衰减直流分量的时间常数和初始值，即可通过直接计算方法得到任意采样点处衰减直流分量引入的误差，或通过递推方法迅速得到其它各采样点处的衰减直流分量误差。新算法具有计算简单，响应速度快、计算精度高、抗干扰性能好的优点。
关键词 微机保护 递推傅氏算法 衰减直流分量
1 引言
傅氏算法由于其良好的滤除整次谐波、提取基波分量的能力，被广泛应用于微机保护领域。文献［1］深入分析了傅氏算法的特性，指出傅氏算法能完全滤掉各种整次谐波和纯直流分量。根据所基于数学模型的不同，傅氏算法可分为非递推傅氏算法和递推傅氏算法，二者在滤波特性上完全一致；但相较于非递推傅氏算法，递推傅氏算法具有明显地减少运算量的优点。
电力系统发生故障时，故障电流中通常含有呈指数衰减的直流分量，而傅氏算法不能有效地抑制衰减直流分量的影响，这是由傅氏算法本身的性质决定的。［1］［2］本文通过在递推傅氏算法基础上，提出一种理论上能够完全滤除衰减直流分量引入误差的新算法。新算法通过递推方法计算各采样点处的误差，保留了递推傅氏算法运算量小的优点。
2 递推傅氏算法的基本原理
傅氏算法是以叠加各次正弦波为模型的拟合算法，设拟合波形为：
式（1）、（2）中：N为每周波采样点数；n为所求谐波次数；以下同。
递推傅氏算法和非递推傅氏算法基于不同的数学模型。将算法写成相量形式Xk=∑xk·fk，对于非递推傅氏算法，系数因子相量fk为静止相量，无论数据窗相量为何，fk均为 ， ；而递推傅氏算法中，系数因子相量fk为旋转相量 ，与数据窗［x（k），x（k－1），…，x（k－（N－1））］一起以角速度 同步旋转［3］。因此，在第k个采样点处，非递推傅氏算法求得的的基波和各次谐波分量为 ，而递推傅氏算法求得的基波和各次谐波分量为 ；即非递推傅氏算法经每个采样间隔计算所得相量以角步长2π／N在复平面内沿逆时针方向旋转，而递推傅氏算法所得相量在复平面内保持不动。
3 快速滤除衰减直流分量的新算法
电力系统中发生故障时，故障波形中通常含有以指数形式衰减的直流分量，而傅氏算法无法有效抑制衰减直流分量的影响，所以必须通过算法的改进，滤除衰减直流分量带来的误差。
3．1 衰减直流分量引入的误差
设故障波形为：
3．2 用递推方法计算衰减直流分量误差
取数据窗t∈［TS，T］，即采样点k＝N处，作傅氏变换，计算基波分量的实部和虚部，得
由此可以得出计算基波分量中衰减直流误差的递推公式为：
Er0，δ0按式（7）和式（8）求解。
推广到计算n次谐波分量中的衰减直流分量，只要作如下改动：
由上可知，只要求出Kt和I0的值，就可以通过递推公式或直接计算公式，迅速得出任意采样点处衰减直流分量引入的误差。
文献［4］提出的递推傅氏算法，计算每一采样点处的衰减直流分量影响时，都必须对自该采样点起的连续三个数据窗进行傅氏递推，然后分别计算误差分量的实部和虚部；新算法在首次计算衰减直流分量误差时，须根据式（7）、（8）先行算出在故障开始后第一个周波结束（k＝N－1）时的误差相量的幅值Er0和相角δ0，然后根据直接计算公式（11）、（12）算出当前采样点处的误差相量。在其后计算衰减直流分量误差时，只须按式（9）、（10）递推即可，运算量大大减小。
3．3 求解kt和I0的方法
按照递推公式（5）和（6）则
4 算法流程
1）按照非递推算法（式（1）、（2）），计算第K个采样点处的基波（或谐波）实部分量IRe（k）和虚部分量IIm（k），对应数据窗｛x［k－（N－1）］，x［k－（N－2）］，…，x（k－1），x（k）｝；
2）按照递推算法（式（5）、（6）），计算第k＋1、k＋2个采样点处的基波（或谐波）实部分量IRe（k＋1）、IRe（k＋2）和虚部分量IIm（k＋1）、IIm（k＋2）；
3）按照式（13）～（18），计算衰减直流分量参数，时间常数 和初始值I0；
4）将Kt和I0代入式（7）、（8），求出衰减直流分量引入的误差相量的初始幅值Er0和初始相位δ0； 5）将Er0和δ0代入式（11）、（12），求出k点处衰减直流分量引入的误差相量的幅值Er和相位δ，进而可得实部误差Δkr＝Ercosδ，虚部误差Δki＝Ersinδ，因此k点处的基波（或谐波）实部分量修正值为IRe（k）－Δkr，虚部分量修正值为IIm（k）－Δki；
6）按照递推傅氏算法公式（5）、（6）计算新采样点处的基波（或谐波）分量，按照衰减直流分量误差的递推公式（9）、（10）计算新采样点处的误差，对基波（或谐波）分量进行修正；
7）重复6）。
5 仿真结果和应用分析
5．1 算法验证
设输入的电流故障波形为：
上式假设故障波的衰减直流分量初始值和基波幅值一样大，这是最为严重的一种故障情况。
递推傅氏算法和新算法的性能比较如图1和图2所示（每周波采样点数N＝64），图中设故障起始时刻t＝0以前，电流值为零。
可见，新算法不仅在理论上能够完全消除衰减直流分量带来的误差，而且收敛速度快，抑制了衰减直流分量引起的振荡。
5．2 系统频率漂移的影响
电力系统中基波频率漂移将导致采样不同步，对计算结果产生影响。
以5．1的故障波形为例，当系统基波频率偏离工频f0＝50 Hz时，算法的仿真结果如下。
1）幅值
2）相位
图3是系统频率变化时的相位计算结果，自下而上从49．3 Hz～50．5 Hz。当系统频率发生偏移Δf时，相量将在复平面内以2πΔf的速度旋转。当系统实际频率大于系统额定频率f0时，沿逆时针旋转；当系统实际频率小于系统额定频率f0时，沿顺时针旋转［5］。
文献［5］提出的测量系统频率的自适应算法，在没有衰减直流分量的情况下，具有较高的精度；在本文提供的含有较大衰减直流分量的场合，其精度很不理想，但从图3仍可清晰看出频率漂移在相位上的反映。
5．3 递推算法的缺点
从数字滤波的角度来看，递推算法和无限冲激响应数字滤波器具有相同的原理，其输出不仅与当前及以前的某段时间内的输入有关，还与以前的输出有关。因此，在实际应用中，必须结合实际的硬件条件计算累积误差，如A／D转换器的位数、有限字长效应等。
6 结束语
新算法能够精确滤除衰减直流分量引起的误差，而且误差计算也采用递推方式，保持了递推傅氏算法运算量小的优点；新算法对数据窗位置没有要求，可以从任意时刻开始，只需N＋2个采样点就可精确计算出任意采样点处衰减直流分量带来的误差。仿真结果表明，该算法具有计算简单、响应速度快、计算精度高、抗干扰性能好的优点。
参考文献
1 杨奇逊．微型机继电保护基础．北京：中国电力出版社，1988．
2 陈德树．计算机继电保护原理与技术．计算机继电器保护原理与技术．北京：水利电力出版社，1992．
3 K．－Fr．Eichhorn．T．Lobos Recursive real－time calcula－tion ofbasic wave forms of signals．IEE Proceedings－C，1991，138（6）：469～470
4 周大敏．递推傅氏算法中衰减非周期分量的消除方法．继电器，1998，26（5）：5～11
5 孟昭敦，等．电力系统测频的自适应算法．电力系统及其自动化学报，1998，10（2）：39～42 |
