在之前的文章中，我们讨论了噪声幅度的概率密度函数 (PDF) 使我们能够提取一些宝贵的信息，例如噪声分量的平均值和平均功率。虽然 PDF 允许我们估计噪声的平均功率，但它没有揭示噪声功率在频域中的分布情况。

在本文中，我们将首先研究常见噪声源的一个重要特征：噪声均方根 (RMS) 与峰峰值之间的关系。然后，我们将看到可以估计我们感兴趣的噪声源的频谱。

高斯或正态分布

在本文的部分，我们从示例噪声信号中提取了 100,000 个样本，并使用它们创建了噪声幅度分布的直方图。对直方图进行归一化后，我们便可以估算出噪声幅度 PDF。估计的 PDF 如图 1 所示。

图1

图 1 中的分布实际上是对称为高斯分布或正态分布的 PDF 的估计，它由以下等式给出：

pX(x)=1σ√2πexp(?(x?μ)22σ2)pX(x)=1σ2πexp(?(x?μ)22σ2)

公式 1

其中 σ 和 μ 分别是分布的标准差和均值。我们之前讨论过噪声幅度的 PDF 可用于估计噪声信号的均值和方差。如果我们将图 1 中的值代入均值和方差方程，我们将分别获得大约 0 和 1 的均值和方差。让我们比较估计的 PDF，它看起来像 σ 2 ≈ 1 和 μ≈ 0 的高斯分布，与方程 1 给出的正态分布的值（对于相同的均值和方差值）。如图 2 所示。如您所见，σ=1 和 μ=0 的正态分布与我们估计的 PDF 非常匹配。

图 2

有趣的是，许多常见的噪声源（例如电阻器产生的噪声）呈现高斯分布。 

噪声 RMS 和峰峰值

既然我们知道许多噪声源具有等式 1 给出的振幅分布，我们能否建立 PDF 特性与噪声峰峰值之间的关系？还有一个更好的问题：我们如何考虑随机信号的峰峰值？图2表明噪声幅度大于4的概率很低；然而，这个概率并不是真的为零。 

对于随机信号，我们只能定义一个峰峰值。如图 3 所示，对于均值为 μ 且标准差为 σ 的高斯分布，大约 68.27% 的样本在均值 (μ) 的一个标准差范围内。此外，95.45% 和 99.73% 的噪声样本分别在平均值的 2σ 和 3σ 范围内。

图 3.图片由Towards Data Science提供

根据以上信息，我们可以假设噪声峰峰值等于分布标准差 (6σ) 的六倍。在这种情况下，我们可以预期大约 99.73% 的噪声样本在 μ-3σ 到 μ+3σ 的范围内。换句话说，对于大约 99.73% 的噪声样本，峰峰值不能超过 6σ。换句话说，概率为 0.9973，噪声的峰峰值将小于 6σ。如果我们假设噪声的平均值为零，则噪声幅度将小于 3σ 的概率为 0.9973。

请务必注意，这只是定义噪声峰峰值的一种方法。另一个常见定义将 6.6σ 视为噪声峰峰值。根据此定义，大约 99.9% 的样品会给出小于 6.6σ 的峰峰值。如果平均值为零，概率为 0.999，则噪声样本的振幅将小于或等于 3.3σ。

请注意，如果噪声的平均值为零，则标准偏差将等于噪声 RMS 值。在评估模拟元件的噪声时，我们通常需要将峰峰值噪声转换为 RMS 值，反之亦然。为此，根据我们如何定义峰峰值，我们可以使用以下两个公式之一：\(6 \times V_{noise, rms}= V_{noise, pp} \: \: \:或 \: \: \:6.6 \times V_{noise, rms}= V_{noise, pp}\)。在为 A/D 转换器选择合适的参考电压 IC 时，请参阅本文以获取使用此信息的示例。$6\times V_{noise,\mathrm{rm}s=}{V}^{}{}_n{}_o{}_i{}_s{}_e{}_{,}{}_p{}_{?}{}_p\_{}_{}或\_6.6\times V_{noise,rms}=V_{noise,p?p}$

功率谱密度

虽然 PDF 允许我们估计噪声的平均功率，但它并没有揭示这个给定的噪声功率在频域中是如何分布的。为了更好地理解为什么信号的总平均功率没有指定信号频率内容，请考虑以下两个确定性信号：

$$s_1\left(t\right)=Asin(2\pi \times 1\times t)$$

$$s_2\left(t\right)=Asin(2\pi \times {10}^9\times t)$$

这两个信号的平均功率相同，并且正比于\(\frac {A^2}{2}\)。但是，它们具有不同的频率内容。s 1 (t) 具有 1 Hz 的频率分量，而 s 2 (t) 具有 1 GHz 的频率分量！同样，噪声的平均功率并不能决定其频率成分。PDF 显示了样本幅度的分布，但它没有向我们提供有关噪声样本变化速度的任何信息。正如确定性信号一样，噪声样本在时域中变化得越快，信号功率就越集中在更高的频率上。 $\frac{{\mathrm{一个}}^2}{2}$

为了表征噪声源的频率成分，我们测量感兴趣带宽内不同频率的噪声平均功率。例如，要找到 f 1处的噪声平均功率，理论上我们可以将噪声样本应用于带宽为 1 Hz 且中心频率调谐到 f 1的理想带通滤波器。这个理想的带通滤波器将衰减其 1 Hz 带宽之外的所有频率分量。在带通滤波器的输出端测得的平均功率 (S X (f 1 )) 是噪声源在 f 1时可能表现出的平均功率的估计值。这在图 4 中进行了说明。

图 4

我们可以对感兴趣带宽内的其他频率重复上述过程。这将为我们提供噪声平均功率与频率的关系，如图 5 所示。

图 5

这些测量指定了噪声的频率成分，通常称为噪声功率谱密度 (PSD)。由于我们使用 1-Hz 带通滤波器来测量平均功率，因此 PSD 图的值将以 V 2 /Hz 为单位。此外，制造商通常通过提供 PSD 的平方根来指定其产品噪声性能。在这种情况下，单位将为 \(V/\sqrt{Hz}\)。注意提供的单位可以让我们识别是否给出了噪声功率或电压密度与频率的关系。$V/\sqrt{\mathrm{赫兹}\_}$

此外，噪声有时以每根赫兹的安培数 (\(A/\sqrt{Hz}\)) 为单位指定。在下一篇文章中，我们将看到 PSD 概念是一个强大的工具，它允许我们检查噪声源对系统输出的影响。$A/\sqrt{\mathrm{赫兹}\_}$

结论

在本文中，我们首先研究了常见噪声源的一个重要特征：噪声 RMS 与峰峰值之间的关系。我们看到噪声峰峰值大约是其 RMS 值的六倍。在评估模拟组件的噪声性能时，这种关系变得尤为重要。然后，我们查看了噪声 PSD 的定义，它使我们能够估计噪声频谱。