1. 图像处理
    空间域中的图像处理是一个涉及像素操作技术的视觉丰富的研究领域。对图像执行不同的操作，将图像简单地视为二维数组。
    通常，所有这些基于矩阵的运算都是在较大矩阵（表示完整图像）和较小矩阵（称为 2D 内核）之间执行。内核大小和相关值决定了它对所考虑的图像产生的影响。
    例如，假设我们有一个矩阵 [0 1;-1 0] 并将其与图像进行卷积，如图 1(a) 所示；结果如图 1(b) 所示。我们可以看到，卷积操作导致了图中普遍存在的边缘的确定。然而，获得的结果是不完整的，因为我们还没有完整的边集。

    为了得到剩余的边集，我们需要再次执行卷积运算。但这次我们的内核将是 [0 -1;1 0] 而不是 [0 1; -1 0]。由此产生的边缘如图 1(c) 所示。

    图 1. (a) 原始图像 (b) 图像中的组边缘 (c) 图像中的第二组边缘 (d) 原始图像的边缘。
    接下来，我们需要结合上述两个操作的结果以获得图像中存在的所有边缘（图 1(d)）。提到的这对内核被称为 Roberts 内核，对原始图像执行的整个操作称为 Roberts 边缘检测。

    另一方面，如果内核大小为 3×3，每个元素的值为 1/9，则其与图像的卷积会使图像变得平滑，如图 2 所示。也就是说，生成的图像在与原作的比较。该操作称为平滑，内核称为平滑器。

    图 2.平滑操作。
    在这两个例子中，我们都看到了一个共同因素——“卷积”。除了这些示例之外，卷积还有更多的图像处理应用，并且被认为对于图像处理操作很重要。
    2. 使用系统的脉冲响应合成新的可定制模式
    考虑一个系统，其脉冲响应（单位脉冲输入的系统输出）如图 3(a) 所示。现在，假设我们希望该模式出现在t = 25时刻。
    为了实现这一点，我们需要一个在t = 25 时具有脉冲的输入信号。系统输入处存在脉冲（图 3(b) 中所示的“个脉冲”）会导致出现系统在该特定时刻的脉冲响应（如图 3(c) 中的“脉冲响应”所示）。
    如果我们希望脉冲响应在缩放 1.8 倍后出现在t = 175 处，那么我们需要在输入侧将脉冲缩放至t = 175 时的相同量。

    更进一步，假设我们想在t = 275 时反转它。那么我们需要在同一时刻有一个反转的脉冲。相关波形分别由图 3(b) 和 3(c) 的第二组脉冲和相关响应示出。

    图 3.使用系统的脉冲响应定制所需的模式
    基于同样的理由，我们可以猜测，如果我们希望得到一个间隔为t = ' a ' 单位的系统响应序列，那么，我们只需通过脉冲序列激励系统即可获得它，该脉冲序列的间距也是“ a ”时间单位。
    不过，请注意脉冲间距。为了忠实地复制，必须确保样本之间有足够的间距，否则就会出现失真。
    例如，如果系统的脉冲响应跨越“ s ”个时间单位的持续时间，则输入信号中的样本之间的间隔必须大于或等于“ s ”个时间单位。低于此值的任何值都会导致样本重叠，从而影响输出。这可以在图 3(c) 的部分（第三组）中观察到，该部分显示了当脉冲序列（在图 3(b) 中显示为第三组脉冲）以 30 倍的间隔间隔时输出失真。瞬时，而脉冲响应（图 3(a) 中）本身跨越约 75 个时间单位。
    该图表明，我们可以通过使用卷积来合成定制的输出模式，只要它只需要重复系统以缩放或非缩放方式的响应。
    3. 信号过滤
    让我们看看数字域 FIR（有限脉冲响应）滤波器的方程：

   

    其中y [ n ] 是输入信号x [ n ] 通过系数为h [ n ]的滤波器获得的输出。
    这里，求和的范围从 0 到N，因为我们的h [ n ] 信号本质上是有限的。
    但是，请注意，即使我们将限制更改为超出此范围，过滤器也不受影响。假设我们求从k = -2 到N + 5 （而不是 0 到N）的总和。即便如此，我们的产出仍然保持不变。这是因为当k = -2 到 0 以及N到N + 5 时， h [ n ]的值将为零，这意味着总和也将为零。

    概括这一点，我们甚至可以将 FIR 滤波器的方程写为（只是为了方便）

  

    细看。你觉得这很熟悉吗？您可能会将其视为数字卷积方程（如 部分中所述）。
    这是什么意思？滤波和卷积一样吗？答案是“是”——前提是我们的脉冲响应函数与滤波器函数相同。
    即使我们考虑 IIR（无限脉冲响应）滤波器，同样的类比也适用。然而，有一个例外，这次我们需要将输入信号和过去的输出信号与其各自的系数进行卷积。
    简而言之，卷积形成了信号过滤取得胜利的基础（即使是在二维图像的情况下）。
    4. 多项式乘法
    考虑这样一种情况，我们想要将两个多项式相乘，例如 (2 x 2 + 3 x – 1) 和 (3 x 3 – 2 x )。为实现这一结果而进行的工作如下所示
    (2 x 2 + 3 x – 1) × (3 x 3 – 2 x ) = 6 x 5 - 4 x 3 + 9 x 4 - 6 x 2 - 3 x 3 + 2 x
    = 6 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 6 x 2 + 2 x
    等式 1。
    现在，让我们形成两个数组，其元素是所提到的多项式的系数，然后对它们进行卷积。在此示例中，数组将为数组 1 = A 1 = {2, 3, -1} 和数组 2 = A 2 = {3, 0, -2, 0}。
    我们将使用乘加技术对它们进行卷积，如表 1 所示，您可以在  本系列文章的  部分中阅读该技术。
    从表中可以看出，它们的卷积结果为{6,9,-7,-6,2,0}。以多项式形式表示，这相当于等式 1 中所示的内容。
    表格1。
    结果表表明，当我们将两个多项式相乘时，我们实际上是从数学角度对它们的系数进行卷积。这清楚地证明了卷积有助于我们执行多项式的乘法。
    5. 音频处理
    礼堂、电影院和其他类似的建筑严重依赖混响的概念， 因为它可以极大地提高声音质量。
    以数字方式模拟混响的过程在技术上称为“卷积混响”。通过卷积混响，您可以将区域的已知脉冲响应与所需声音的脉冲响应进行卷积，以模拟特定区域的混响效果。
    通过这样的模拟，我们可以做一些很酷的事情：我们可以计算出礼堂的声学效果对小提琴家演奏的影响，而无需亲自到场。使用此技术的另一种方法是将两种声音（例如歌手的声音与维纳琴的声音）合并，以产生新的声音。
    6. 人工智能

    神经网络是人工智能的一个领域，它通过模仿人脑中的连接来设计电路。大脑内神经元之间的互连被建模为构成网络的多层节点之间的互连。

    图 4.一个简单的人工神经网络
    图 4 显示了此类人工神经网络 (ANN) 简单的形式。该示例有一个隐藏层，它将输入节点路由到输出节点。节点显示为圆形区域，而蓝线表示互连。
    在这样的网络中，每个互连都与一个称为权重的参数相关联。这些权重表明特定节点对特定输出的影响程度。一些神经网络还包含卷积——它们被称为卷积神经网络，它们是图像处理的强大工具。
    7. 合成地震仪
    地震学是地球物理学的一个分支，主要研究地震和其他穿过地球甚至其他行星的弹性波情况。地震波可以穿过地球的不同层，每个层都有自己的成分和反射率。将所有反射波相加即可得到净反射波。所得图表在技术上称为“合成地震图”。
    将特定地球层的反射系数与输入信号相乘，然后对所得波求和的行为可以通过卷积运算有效地建模。换句话说，我们可以说，地球的反射率序列可以被认为类似于地球的脉冲响应，当与传入的地震波卷积时可以呈现合成地震图（石油勘探中的地震建模和模式识别） 。
    8. 光学
    当准直光穿过其中有狭缝的孔径时，光会沿着不连续性发生衍射。这一行为导致在无穷远处的平面上形成正弦函数，这被称为穿过狭缝的光的衍射图案。同样，对于圆形孔径，产生的衍射图案将是宽边函数（成像光谱仪简介）。
    现在，假设我们有一个孔径，它是这两者（狭缝和圆形）的组合。我们能否在不实际重复该过程的情况下获得这种复杂结构的衍射图案？我们可以。事实上，得到的图案将是通过将 sinc 函数与 sombrero 函数进行卷积而获得的图案。
    这表明，当我们知道每种孔径的衍射图案时，可以通过对这些单独的图案进行卷积来获得它们组合的衍射图案。大多数线性系统都表现出类似的叠加行为，卷积可以帮助简化。
    9. 概率论
    让我们考虑这样一种情况：我们有两个独立的随机变量 X和Y，分别具有概率密度函数 (pdf) f和g。如果我们希望计算它们之和的 pdf（即，如果我们需要X + Y的 pdf ），我们可以使用f和g 的卷积。
    继续这个逻辑，我们可以计算任意数量的自变量之和的 pdf。这很重要，因为许多标准分布都具有简单的卷积模式的特征，这意味着我们可以使用卷积找到它们的pdf。
    10.计算机断层扫描
    断层扫描是一种获得物体特定平面视图的技术。使从源产生的窄 X 射线束（或任何其他类似的穿透辐射）穿过所需的物体。然后，这些射线被通常放置在物体另一侧的探测器收集。
    生成的图像是源光线与物体成分的卷积，揭示了其内部结构。然而，所得图像的质量相对较低。
    现在考虑一种情况，其中源和检测器组件沿着物体上的不同角度位置平移。此行为在同一预期平面上创建对象的多个视图。接下来，这些视图被CT重建算法作用，以获得高质量的图像。
    当使用重建算法时，卷积就出现了。两种广泛使用的重建算法是 滤波反投影，它利用了卷积。