解如何推导无损传输线的波动方程并查看其无限带宽和相位常数。
　　当您开始学习射频设计时，可能遇到的令人恼火的事情之一就是传输线效应。在过去的美好时光中，当您在低频板上工作时，电线只是一些互连，现在是由一些令人生畏的方程式描述的复杂组件！乍一看，这似乎很麻烦；然而，当您对传输线了解得更多时，您终可能会发现它们因祸得福，并开始认识到所有这些复杂性。由于其“分布式”特性，无损传输线可以提供无限带宽。这与我们对低频电路的直觉形成鲜明对比。
　　在本文中，我们将推导无损传输线的波动方程，并了解其无限带宽的显着特征。然而，在此之前，让我们解释一下传输线的“分布式”性质是什么意思。
　　集总与分布式机制

　　当电路尺寸与电路中短波长相当时，电线应视为传输线。这突出了电路元件和互连的两种操作机制（即“集总”机制和分布式机制）之间的界限。在集总状态下，我们处理较低的频率，并且假设电信号无限快地通过电线传播。术语“集总”是指我们可以在电路的某些特定区域中识别单独的电容器和电感器。例如，请考虑图 1 中所示的无源带通滤波器。

　　无源带通滤波器的示例原理图。
　　图 1. 无源带通滤波器的示例图。
　　在上图中的“区域 A”中，磁能存储占主导地位，因此，这部分电路表现为电感式。另一方面，在“区域 B”中，电能存储在电场中，这意味着这部分被建模为电容器。在此示例中，可以使用一些集总电容器、电感器等来对电路行为进行建模。我们大学学期教授的电路理论和分析实际上是集总元件电路分析。对于集总电路， 可以轻松应用基尔霍夫电压定律 (KVL) 和基尔霍夫电流定律 (KCL)来计算电路中的电压和电流。

　　相反，在分布式系统中，我们无法识别单独的电容器和电感器。例如，分布式区域中的均匀无损导线被建模为 LC 截面的无限梯形网络（图 2）。

　　LC 截面的无限梯形网络。
　　图 2.  LC 截面的无限梯形网络。
　　该模型表明，每根无限短的导线都以磁场和电场的形式存储能量。这两种形式的能量存储分布在整个电线中。在这种情况下，我们无法将电路的电容部分和电感部分分开；它们是混合在一起的。
　　此外，在分布式状态下，电信号以波的形式沿着导线传播，这意味着电压和电流是沿着导线的时间和位置的函数。因此，我们可以说 KVL 和 KCL 在高频下不成立。
　　在下一节中，我将尝试以相对容易理解的方式推导相位常数方程。如果您对学习推导不感兴趣，可以跳过下一部分并从“方程摘要”部分继续。
　　相位常数方程的推导

　　无损传输线可以通过两个重要参数来表征：特性阻抗Z 0 和相位常数β。特性阻抗指定无限长线路的电压波与电流波的比率。相位常数表征波如何随位置变化。对于无损线路，Z 0 由公式 1 给出：　Z0=√LC　

   　等式 1。

　　为了推导出 β 的方程，我们需要找到图 3 中梯形网络模型中出现的稳态电压和电流信号。

　　梯形网络模型。

　　图 3. 梯形网络模型。
　　根据个 LC 部分显示的电压和电流参数，基尔霍夫电压定律可得出：
　v(x+Δx,t)?v(x,t)=?LΔx×di(x,t)dt
　　两边除以 Δx，我们有：
　　v(x+Δx,t)?v(x,t)Δx=?L×di(x,t)dt
　　如果我们考虑当 Δx 接近零时该方程的极限，左侧的表达式实际上变成 v(x, t) 对 x 的导数。因此，上式可以改写为式2：　dv(x,t)dx=?L×di(x,t)dt
　　等式2。

　　对于无限长的线，沿线任意点的电压与电流之比等于Z 0。从方程 1 中，我们得到：　i(x,t)=v(x,t)Z0=v(x,t)√CL　　

通过替换公式 2 中的 i(x, t)，可得出公式 3：

　　dv(x,t)dx=?√LC×dv(x,t)dt
　　等式 3。
　　现在两边都是线电压，但左边是 v(x, t) 对位置的导数，而右边包括函数对时间的导数。由于我们想要对正弦激励进行稳态响应（例如 v s (t) = Acos(ωt) ），因此我们可以使用电路理论中的相量概念。
　　对于此分析，我们可以假设输入是复指数电压 Ae jωt 而不是 v s (t) = Acos(ωt)，然后我们找到感兴趣的电压或电流信号。，我们取所获得信号的实部来找到实际输入 v s (t) = Acos(ωt) 产生的输出。
　　当我们将 Ae jωt应用于 电路时，项 e jωt 出现在所有电压和电流量中。例如，v(x,t)可以被认为是V(x)e jωt，其中V(x)是被称为v(x,t)的相量的复数值。在基本电路理论中，相量显然不依赖于位置，因为我们正在处理集总电路。然而，在传输线分析中，我们期望相量是位置的函数。将 v(x, t) 替换为 V(x)e jωt，方程 3 得出：

　　 ddx(V(x)ejωt)=?√LC×ddt(V(x)ejωt)　

 　V(x) 不是时间的函数，e jωt 也不是 x 的函数。因此，使用一点代数，上面的方程可以简化为：

　dV(x)dx=?jω√LC×V(x)　

 　这个一阶微分方程的解对于电子工程师来说应该很熟悉：

　　V(x)=V0e?jω√LCx　　

   其中V 0 是一个常数，可以从线路输入和输出端口的边界条件中找到。从相量分析中，我们知道 V(x)e jωt的实部 是将 v s (t) = Acos(ωt) 应用于输入时得到的输出。因此，我们终的电压波为：

　　v(x,t)=实数 (V(x)ejωt)=V0cos(ωt?ω√LCx)　

　定义相位常数

 β=ω√LCβ=ωLC

<br>

　　我们得到：

　　v(x,t)=V0cos(ωt?βx)　

  　等式 4。

　　这与我们在上一篇文章中讨论电压波如何沿着传输线传播时使用的波函数相同。将方程 4 除以 Z 0 得到正向电流波，如方程 5 所示：

　i(x,t)=V0Z0cos(ωt?βx)　　

等式 5。

　　无损过渡线方程总结
　　在上一节中，我们推导了正向电压和电流波的方程。一般来说，前向波和反射波可以同时出现在线路上。对于无损线路，总电压和电流波采用以下形式：
　

v(x,t)=Acos(ωt?βx)+Bcos(ωt+βx)v(x,t)=Acos(ωt?βx)+Bcos(ωt+βx)

 

i(x,t)=AZ0cos(ωt?βx)?BZ0cos(ωt+βx)

　　其中特性阻抗Z 0 和相位常数β为：
　

Z0=√LCZ0=LC

 

$$\beta =\omega \sqrt{LC}$$

　　传输线的分布式效应：期望还是麻烦？
　　由于高频电信号的波动行为，射频设计人员热衷于将负载阻抗与线路的特性阻抗相匹配。如果没有阻抗匹配，则无法将功率传输到负载，并且驻波产生的大峰值电压可能会损坏电路元件或互连。然而，传输线的分布式行为导致了一个非常有趣的特性。
　　根据以上分析，如果用任意频率 ω 1的正弦波 v s (t) = Acos(ω 1 t)激励线路，则正向电压波为：

　 v(x,t)=V0cos(ω1t?βx)　　

    代入 β，我们得到：

v(x,t)=V0cos(ω1t?ω1√LCx)=V0cos(ω1(t?√LCx))　　

我们在给定位置 x 获得的信号与输入相同，只是延迟了

　 x√LCxLC

　　。该结果对于任何频率都有效。的假设是线路是无损的并且充当传输线。如果延迟与频率相关，则输入的不同频率分量将经历不同量的延迟，从而导致输出失真。例如，如果我们将脉冲施加到具有与频率相关的延迟的系统，则输出可能会完全失真，因为不同的频率分量以不相等的时移到达输出。
　　如方程式所示，无损传输线以相同的延迟通过所有频率分量。换句话说，线路具有无限的带宽。如果我们增加 L 和 C，延迟将会增加，但所有频率分量仍然会有恒定的延迟。如果您将其与我们对集总低频电路的直觉进行比较，您会发现这个功能更加令人惊讶，在集总低频电路中，增加电容器值通常会降低系统带宽。
　　除了均匀延迟之外，我们还应该具有与频率无关的衰减，以拥有无限带宽的系统。在上面的讨论中，我们假设线路是无损的，因此所有频率的衰减都为零。