传输线模型中的有损分量

在本系列之前的内容中，我们了解了图 1 中传输线模型的有损分量，即串联电阻 ( R ) 和并联电导 ( G )。

图 1.两导体传输线的等效电路。图片由 Steve Arar 提供

趋肤效应使交流电阻与频率的平方根成比例地增加。电导考虑了介电损耗，如公式 1 所示：

G=Ctan(δ)ωG=Ctan(δ)ω

等式 1。

如果我们假设损耗角正切 δ 是常数，则上式表明单位长度的电导随频率线性增加 ( ω = 2πf )。

有损线方程

在上一篇文章中，我们推导了无损线路的电压和电流方程。我们可以通过类似的过程获得有损线的方程。这里我们不会详细介绍推导的细节；相反，让我们看看终结果。对于有损线路，复数特性阻抗 ( Z 0 ) 和复数传播常数 (γ) 如下面的等式 2 和 3 所示：

$$Z_0=\sqrt{\frac{R+jL\omega }{G+jC\omega }}$$

等式2。

$$\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+jL\omega )(G+jC\omega )}$$

等式 3。

传播常数由两部分组成：

• 衰减常数 ? 是 γ 的实部，以每米奈培为单位进行测量。
• 相位常数 β 是 γ 的虚部，以弧度/米为单位测量。它描述了每单位长度的相移。 

如果该线沿 x 轴，则向前传播的电压波可采用以下形式：

$$v(x,t)=A{e}^{?\alpha x}cos(\omega t?\beta x)$$ 

等式 4。

其中A是一个常数，可以从线路输入和输出端口的边界条件中找到。有损和无损情况之间的主要区别在于指数项e -?x，它表明信号沿有损线路传播时会衰减。

简化 ? 以获得低损耗线路

实际的传输线应该具有的损耗；否则对于信号传输来说是无用的。我们可以通过使用公式 1 来衡量G的值来看出这一点。对于典型的 FR-4 板，损耗角正切约为 0.02，这导致：

$$G=0.02\times C\omega$$

等式 5。

即使对于有损耗材料，电导也仅为单位长度电容导纳的 1/50。因此，我们可以假设： 

$$R?L\omega 和\_\_G?C\omega$$

等式 6。

上述小损失假设使我们能够简化线路的不同方程。特性阻抗（Z 0）可近似为：

$$Z_0\approx \sqrt{\frac{L}{C}}$$

等式 7。

此外，传播常数 γ 可以重写为：

$$\begin{array}{ccc}\gamma =\alpha +j\beta & =& \sqrt{(R+jL\omega )(G+jC\omega )}\\ & =& j\omega \sqrt{LC}\sqrt{(1+\frac{R}{jL\omega })(1+\frac{G}{jC\omega }）}\end{array}$$

方程 8.

，使用 x ? 1 的近似 \(\sqrt{1~+~x}~\simeq~1~+~\frac{x}{2}\) 可以证明：$\sqrt{1+x}?1+\frac{x}{}\frac{2}{}\frac{}{}$

$$\gamma =\alpha +j\beta \approx \frac{1}{2}(\frac{R}{Z_0}+G{Z}_0)+j\omega \sqrt{LC}$$

方程 9.

这是一个重要的结果，可以帮助我们了解线路模型中的R和G如何影响衰减常数。有关此主题的更多信息，我推荐Clayton R. Paul 

分贝和奈珀斯

两个电压之比可以用两种方式表示：

• 分贝。表达两个电压之比的常见方法是分贝以 10 为底，并使用 log 10 (V 1 /V 2 )计算。
• 内珀斯。更罕见的是，电压比以奈佩尔表示，它使用以e为底的自然对数。Nepers 使用 ln(V 1 /V 2 ) 计算。 

例如，1奈佩尔的衰减对应于e -1 = 0.37的电压比；换句话说，1 neper 衰减意味着线路末端的电压是初始电压的 0.37 倍。

以下等式显示了如何将以每米奈佩斯表示的衰减系数 α 转换为每米 dB：

$$\begin{array}{ccc}\mathrm{衰减}\mathrm{ind}B\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_& =& 20\log \left(e^{}{}^{}{}^{}\right)\_\_{}^{}\\ & =& ?8.69\times \alpha \end{array}$$

方程 10。

请注意，减号仅表明我们有损失而不是收益。该方程表明，如果我们乘以 8.69，以奈佩尔为单位的量就可以用分贝来表示；换句话说，1 neper = 8.69 dB。当我们将上述转换因子应用于公式 9 时，每单位长度的衰减常数（以 dB 为单位）可得出：

$$\alpha [每\mathrm{单位}\mathrm{长度}\mathrm{dB}]=\mathrm{4.34}(RZ0\_\_\_\_\_\_\mathrm{\_}\_\frac{\_}{}\frac{{\_}^{}}{}\frac{{}_{\mathrm{\_}}}{}\frac{{}_{}}{}+G{Z}_0)$$

公式 11。

上式右侧项指定每单位长度的导体损耗（以 dB 为单位）：

$${\alpha }_c=4.34\times \frac{R}{Z_0}$$

公式 12。

第二项代表介电损耗（同样以每单位长度的 dB 为单位）：

$${\alpha }_d=4.34\times G{Z}_0$$

公式 13。

介电损耗和导体尺寸

传输线的特性阻抗与单位长度电容的关系如下：

$$Z_0=\frac{\sqrt{{?}_r}}{c\times C}$$

公式 14。

其中c是真空中的光速。将上述方程与介电损耗 ? d相结合，得出：

$${\alpha }_d\left[\mathrm{dB}每\mathrm{英寸}\right]=\mathrm{2.32}f\tan (\delta )\surd \sqrt{{?}^{}}\sqrt{{}_r}\_\_\_\mathrm{\_}\_\_\_\sqrt{}\sqrt{{}_{}}$$

公式 15。

其中f是频率，单位为 GHz。请注意，上面的方程给出了以 dB/英寸为单位的介电损耗。

公式 15 暗示了一个有趣的点：介电损耗与电容 ( C )无关。这是因为G与C成正比，而Z 0与C成反比。因此，介电损耗（与GZ 0成正比）与C无关。 

这也意味着介电损耗与线路的几何特征无关，例如微带线的 PCB 走线宽度。但这是否意味着 PCB 走线的损耗不会随其尺寸的变化而变化？图 2 显示了两种不同类型材料的损耗与迹线宽度曲线。

图 2. 两种材料的损耗与走线宽度的关系。图片由克莱德·库姆斯提供

根据公式 15，? d与导体尺寸无关。然而，增加走线宽度会减少另一个重要的损耗项：导体损耗。正如我们在本系列文章前面讨论的那样，电阻率为 ρ 的线路的交流电阻可以近似为：

$$R_{AC}\approx \frac{\rho }{p\delta }\Omega /米$$

公式 16。

在上式中，p表示导体的周长，δ 是趋肤深度。通过使用更宽的走线，p会增加，从而降低交流电阻 ( R AC ) 和导体损耗 ( ? c )。请注意，使用宽走线会对电路密度产生负面影响。

损耗随频率的变化

我们知道趋肤深度δ与频率的平方根成反比：

$$\delta =\frac{1}{\sqrt{\pi f\mu \sigma }}$$

公式 17。

因此，等式 12 和 16 表明导体损耗随着频率的平方根而增加。另一方面，介电损耗与频率成正比（公式 15）。 

在低频段和中频段，介电损耗非常小，总损耗由集肤效应决定。然而，在较高频率下，介电损耗占据主导地位，因为它的增长速度快于导体损耗。图 3 显示了典型 FR-4 基板上 40 厘米迹线的导体损耗和介电损耗，以及这两个损耗项的综合影响。

图 3.  40 厘米走线的导体损耗、介电损耗以及两者的综合影响。图片由C. Svensson提供

我们可以看到，在较低频率下，介电损耗小于导体损耗；然而，在较高频率下，它成为主导机制。如果我们对衰减轴和频率轴都使用对数刻度，则当趋肤效应占主导地位时，曲线的斜率应约为 1/2；当介电效应占主导地位时，曲线的斜率应为 1。您通常会看到用直线表示的损失项，如图 4 所示。

图 4. 集 肤效应损耗和介电损耗。图片由Y. Liao提供

作为示例，图 5 显示了 FR-4 板上具有 8 密耳宽走线的 50 Ω 微带线的衰减。

图 5.  50Ω 微带线的衰减。图片由Eric Bogatin提供

传输线的其他性能区域

现有文献对互连建模进行了深入探讨。在上面的讨论中，我们了解了传输线的集肤效应和介电限制工作区域。根据线路的长度、运行频率以及线路 RLGC 模型中不同参数的值，我们可以让线路以不同的方式运行。 

例如，集成电路使用横截面积小得多的导体。与线路的直流电阻相比，这可以使线路的感抗变得微不足道。在这种情况下，该线路在称为 RC 区域的区域中运行。在这个地区，线路的反应完全不同。RC 区域的特性阻抗由下式给出：

$$Z_c\approx \sqrt{\frac{R}{j\omega C}}$$

方程 18.

集肤效应和介电限制区域（公式 7）中的特性阻抗是一个恒定值，这使得提供匹配负载变得简单。然而，RC 区域的特性阻抗取决于频率。这意味着如果我们需要的话，在这种操作模式下提供匹配并不容易。幸运的是，PCB 走线不太可能表现出任何可观察到的 RC 模式现象。