偏离平均值

　　假设我们已经将两个模拟输入信号数字化。如果我们将数字代码转换回伏特单位并绘制离散时间波形，它们看起来像这样：

　　只需查看绘图，我们就可以很好地猜测平均值：蓝色信号的中心趋势是 1.2 V，红色信号的中心趋势是 0.8 V。但是，如果我们仅平均值，我们将给人的印象是，这两个信号之间重要的区别是平均值的 0.4 V 差异（或者我们可以将其称为直流电平或直流偏移）。显然，这个故事还有更多内容。
　　电气工程师会本能地将这些波形识别为包含相当多噪声的稳定直流信号（可能是电源电压）。
　　更重要的是，我们立即认识到蓝色信号比红色信号噪声明显更大。如果我们只考虑平均值，那么噪声性能的这种主要差异就会消失。
　　顺便问一下，为什么我们会在这些信号中感知到噪声？因为
　　个别值明显偏离平均值，
　　他们以一种看似随机的方式这样做，并且
　　相对于平均值，偏差很小。
　　当统计学家看到与平均值的微小随机偏差时，电气工程师就会看到噪声。
　　平均偏差
　　这些信号的噪声有多大？比较吵？十分吵闹？让我们尝试为这个问题提供更准确的答案。换句话说，我们需要量化这些数据集中的偏差。
　　量化偏差时，我的直觉是找到每个数据点与平均值之间的距离，然后计算所有这些距离的平均值。这将为您提供平均偏差（也称为平均偏差），即值偏离中心趋势的典型量。这是数学语言中的平均偏差：
　　\[\text{平均偏差}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|x[k]-\mu|\]

　　其中 N 是数据集中值的数量，μ 是平均值，x[k] 是表示为离散时间变量 k 的函数的信号。

　　在此图中，水平线表示高于和低于平均值一个平均偏差的电压水平。
　　尽管平均偏差很直观，但它并不是量化信号偏离平均值的趋势的常用方法。为此，我们需要标准差。
　　方差和标准差
　　在电气工程的背景下，平均偏差的问题是我们对电压（或电流）差异进行平均，因此我们在幅度域中操作。噪声现象的性质使得我们在分析噪声时强调功率而不是幅度，因此我们需要一种在功率领域运行的统计技术。
　　幸运的是，这很容易获得。功率与电压或电流的平方成正比，因此我们需要做的就是在求和和平均之前对差项进行平方。此过程产生称为方差的统计度量，用 σ 2表示（发音为“西格玛平方”）：
　　\[\sigma^2=\frac{1}{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}(x[k]-\mu)^2\]
　　我们可以将方差描述为信号随机偏差的平均功率，表示为 power。这意味着方差与我们开始使用的值的单位不同。如果我们分析电压信号的波动，方差的单位为 V 2而不是 V。
　　如果我们想使用原始单位来表达信号随机偏差的趋势，我们必须通过将平方根应用于终值来补偿每个差异的平方：
　　\[\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{k=0}^{N-1}(x[k]-\mu)^ 2}\]

　　此过程生成称为标准偏差的统计测量，即信号随机偏差的平均功率，表示为幅度。因此，如果我们分析电压信号，则标准偏差的单位为 V，尽管我们使用电压偏差的平方计算标准偏差。

　　在此图中，水平线表示高于和低于平均值一个标准差的电压水平。
　　方差和标准差以不同的方式表达相同的信息。据我所知，虽然方差在某些分析情况下更方便，但标准差通常是，因为它是一个可以直接解释为信号偏离均值趋势的度量的数字。