在数字信号处理 (DSP) 中，我们通常使用多速率概念来提高系统（例如A/D或D/A 转换器）的效率。本文讨论了多速率系统的主要构建模块之一——插值滤波器的有效实现。我们将在这里介绍的方法称为多相实现。
　在这里，我们将尝试通过检查时域中的特定示例来阐明多相插值滤波器的操作。
　插值法
　如图 1 所示，插值的直接实现使用了 $$L$$ 倍的上采样器，然后应用归一化截止频率为\frac{\pi}{L} 的低通滤波器。您可以在我的文章《多速率 DSP 及其在 D/A 转换中的应用》中阅读有关插值滤波器的内容 。

　

　图 1.上采样后接一个归一化截止频率为 L 的低通滤波器执行插值。　
　上采样器将 L-1 零值样本放置在输入 x(n)的相邻样本之间，并将采样率增加 $$L$$ 倍。因此，图 1 中的滤波器被放置在系统采样率较高的部分。
　长度为 N的有限脉冲响应滤波器 (FIR) 放置在上采样器之前，需要对x(n)$ 的每个样本执行 $$N 乘法和 N-1 加法。然而，图 1 中的滤波器位于上采样器之后，必须对 x(n)的每个样本执行 $$LN$$ 乘法和 L(N-1) 加法。
　有什么办法可以降低这个系统的计算复杂度吗？
　为了回答这个问题，我们需要注意，虽然图 1 中实现 H(z)的滤波器以较高的采样率计时，但每个L 样本中都有 L-1 样本H(z) 进程的值为零。因此，对于 L=2，H(z) 的输入样本中至少 50% 为零值。当 $$L>2 时，该百分比将进一步增加。
　考虑到滤波器系数乘以零值输入会得到零值乘积，我们也许能够降低图 1 中系统的计算复杂性。为了获得更好的理解，让我们研究一个简单的示例：插值，其中 $$L=2$$。
　L=2 插值
　假设 L=2 和 H(z)是长度为 6 的 FIR 滤波器，其差分方程如下：　
　y(n)=\sum_{k=0}^{5}b_{k}x(nk)$$
　公式1　
　假设输入信号x(n)如图 2 所示。

　

　图 2.输入序列 x(n)。
　
　上采样两倍后，我们得到 x_1(m)，如下图 3 所示：

　

　图 3.上采样序列 x_1(m)。
　假设六抽头 FIR 滤波器采用以下直接形式结构实现：

　　

　图 4. 六抽头 FIR 滤波器的直接形式实现。
　有了这些假设，我们来检查图 1 中插值滤波器的直接实现。在时间索引 $$m=5$$ 时，FIR 滤波器将如图 5 所示。
　

　

　图 5.  m=5 处的 FIR 滤波器。　
　正如您所看到的，在 m=5处，FIR 滤波器的一半乘法具有零值输入。与这些乘法相对应的分支由虚线示出。您可以验证，对于奇数，这些乘法将始终为零，并且 $$y(m)$$ 将仅由系数 $$b_1$$、$$b_3$$ 和 $$b_5$$ 确定。在下一个时间索引，即$$m=6$$，我们得到如下图6：

　

　图 6.  m=6 时的 FIR 滤波器。
　同样，那些包含零值输入的分支由虚线示出。图 6 再次显示，一半的乘法具有零值输入。检查图 5 和图 6，我们发现，对于奇数时间索引，一半的系数，即b_1、b_3 和 b_5 决定了输出值以及包含其他系数的乘积为零。对于偶数时间索引，系数，即b_0、b_2 和b_4 很重要，其余系数的乘积之和为零。
　让我们在上采样器之后使用两个不同的滤波器：一个具有奇数系数，另一个具有偶数系数，并将这两个滤波器的输出相加得到 $$y(m)$$。结果如图 7 所示。

　

　图 7. 将滤波器的差分方程分解为两组系数：奇数系数和偶数系数。　
　我们可以通过将方程 1 处理为　
　y(n)= \big ( b_0 x(n)+ b_2 x(n-2) + b_4 x(n-4) \big ) + \big ( b_1 x(n-1)+ b_3 x(n -3) + b_5 x(n-5) \big )
　等式2　
　然而，我们之前的讨论表明了为什么我们对这种分解感兴趣：在每个时间索引处，这两个过滤器中只有一个可以产生非零输出，另一个输出为零。为了进一步澄清，让我们考虑图 7 的下部路径。我们知道该路径的输出仅对于偶数时间索引为非零。因此，我们只需要在滤波器输出非零的偶数时间索引处简化上采样器和 FIR2 的级联。在下索引时，我们可以简单地将路径的输出连接到零。这将在本文的其余部分进一步解释。
　现在，让我们检查图 7 中下部路径后面的上采样器，其中包含偶数系数。在此路径中，我们首先对输入 x(n)进行上采样以获得 $$x_1(m)$$。通过此操作，如图 2 和 3 所示，我们在 $$x(n)$$ 的每两个连续样本之间创建等于两个时间单位的时间差。另一方面，图 7 中的滤波器 FIR2 以“两个时间单位”的倍数“查看”其输入。例如，乘以 $$b_0$$ 获取的是当前样本，而乘以 $$b_2$$ 和 $$b_4$$ 则分别接收具有两个时间单位和四个时间单位距离的样本。因此，当 FIR2 的输出非零时，我们可以通过将 $$x(n)$$ 而不是 $$x_1(m)$$ 应用于系数 $$b_0$$ 来简单地找到输出， $$b_2$$, 和$$b_4$$，前提是我们在这些系数之间使用一个单位时间的延迟，即$$Z^{-1}$$。这种等效过滤如图 8 所示。

　

　图 8。原理图相当于图 7 中上采样器和 FIR2 的级联。　
　图8在滤波器之后还包括一个开关，为什么我们需要这个开关？请记住，图 7 中的 FIR2 对于偶数 $$m$$ 具有非零输出。对于奇数 $$m$$，在我们的示例中该过滤器的输出将始终为零。这就是为什么我们需要强制图 8 中的等效电路的输出对于奇数 m 为零。有趣的是，这个特定开关的操作与上采样器的操作完全相同，只有两倍。因此，我们获得了图 9 中的终等效原理图。

　

　图 9.该原理图相当于图 7 中上采样器和 FIR2 的级联。
　与图 7 中的上采样器和 FIR2 级联相比，图 9 的优点是什么？在图 7 中，我们在奇数和偶数时间索引处评估 FIR2，尽管对于奇数时间索引，FIR2 的输出始终为零。在图 8 和图 9 中，考虑了这一属性，并且对于奇数时间索引，输出直接连接到零。这样，我们就避免了不必要的计算。换句话说，图 9 中的三抽头 FIR 滤波器放置在上采样器之前，因此，我们仅对 x(n) 的每个输入样本执行三次乘法和两次加法。然而，图 7 的下部路径将乘法放在上采样器之后，我们必须对 $$x(n)$$ 的每个输入样本执行六次乘法和四次加法。
　将图7的下部路径简化为图9的框图的过程实际上是称为第二高贵身份的身份的特定示例。该身份如图 10 所示。

　

　图 10.第二个高贵身份表明这两个系统是等效的。图片由数字信号处理提供。　
　考虑到我们之前的讨论，您现在应该能够想象为什么我们被允许在 I 因子上采样器之前引入一个可以用 ZI 表示的系统，即 H(ZI)，前提是对于新系统, ZI 被 Zin 代替传递函数。事实上，上采样器在 x(n) 的每两个连续样本之间创建等于 I 个时间单位的时间差。然而，对于输出非零的时间索引，系统函数 H(ZI) 以“I 时间单位”的倍数“查看”其输入。因此，我们可以以类似于图 7 中 FIR2 路径所做的方式简化上采样器和系统功能的级联。要了解第二高贵身份的证明，请阅读本书的第 11.5.2节。
　我们如何简化图7上方的路径？我们可以得到系统函数FIR1为　
　H_{FIR1}(z)=b_{1}z^{-1}+b_{3}z^{-3}+b_{5}z^{-5}　
　要使用第二高贵恒等式，我们只需要用$$z^{-2}$$来表达这个函数。我们可以将系统函数重写为　
　H_{FIR1}(z)=\big ( b_{1}+b_{3}z^{-2}+b_{5}z^{-4} \big ) z^{-1} = P_ {1}(z^{2})z^{-1}　
　由于P_1(z^2)是用z^2 表示的，因此我们可以使用高贵恒等式将这部分传递函数移到上采样器之前。在这种情况下，我们必须将P_1(z^2)中的z^2 替换为z。终系统如图 11 所示。

　

　图11.应用第二个贵族身份后得到的终系统。　
　在该系统中，所有乘法都在上采样操作之前执行。因此，实现了计算复杂度的显着降低。图 11 的示意图称为插值滤波器的多相实现。
　现在，让我们检查一下上面示例的一般形式。在本例中，我们有一个 M 因子上采样器，后跟一个系统函数 H(z)。
　插值器的多相分解和高效实现
　为了找到给定系统 $$H(z)$$ 的 M 分量多相分解，我们需要将系统函数重写为　
　$$H(z)=\sum_{k=0}^{M-1}z^{-k} P_{k}(z^M)$$
　公式3　
　其中 $$P_k(z)$$ 称为 $$H(z)$$ 的多相分量，由下式给出　
　$$P_{k}(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h(nM+k)z^{-n}$$
　公式4　
　现在，如果 $$H(z)$$ 前面有一个 M 因子上采样器，我们可以将第二个高贵恒等式应用于 $$P_k(z^M)$$ 组件并实现更高效的实现。
　例如，如果 H(z) 前面有一个 3 倍上采样器，我们可以使用公式 2 的分解来获得下面的图 12。当 M=3 时，我们将得到图 12。现在，应用第二个高贵恒等式，我们将得到图 13。为了更熟悉公式 2 和 3，请尝试使用这两个公式直接从公式 1 中滤波器的系统函数获得。　
　使用H(z) 的三分量多相分解来实现三因子上采样器，然后是 $$H(z)$$。图片由数字信号处理提供。